配方与公式

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21。2第1课时解一元二次方程配方法、公式法1．直接开平方降次法 降次 ，转化为 根据平方根的定义，把一个一元二次方程______ 两个 一元一次方程，这种方法可解形如(x－a)2＝b(b≥0)的 ________x＝a± b ． 方程，其解为____________注意：用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a(a≥0)；ax2＝b(a，b 同号，且a≠0)；(x＋a)2＝b(b≥0)； a(x＋b)2＝c(a，c 同号，且 a≠0)．2．配方法 完全平方形式 来解一元二次方程的方法叫做 通过配成________________降次 ，把一个一元二次方程转化为 配方法．配方是为了________ 两个一元一次方程 来解． __________________ 注意：配方法的一般步骤： ①把常数项移到等号的右边； ②把二次项的系数化为 1； ③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．3．公式法探究：已知 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且Δ＝b2－4ac≥0，试证 明它的两个根为－b＋ b2－4ac －b－ b2－4ac x1 ＝ ，x2＝ 。 2a 2a证明：移项，得 ( ax2＋bx＝－c )←常数项移到右边 ↓b ? b ?2 c ? b ?2 配方，得 x ＋ax＋?2a? ＝－a＋?2a? ，即 ? ? ? ?22 ? b ?2 b －4ac ( ?x＋ ? ＝ )←把上式左边写成完全平方式 2 2a? 4a ?↓b2－4ac ( ≥ )0←判断等式右边的符号 2 4a↓b2－4ac b配方公式， 直接开平方，得 x＋2a＝± 2a↓－b± b2－4ac x＝ 。

2a↓ 原命题得证．归纳：由上可知， (1)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的 a，b，c 而定；－b± b2－4ac 叫做一元二次方程的求根公式； (2)式子 x＝ 2a(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．注意：采用公式法时首先要将方程化简为一般式．4．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac 由根的判别式________________ 的值可以直接去判断方程 根的个数情况，而不用求解方程： 有两个不相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程__________________________ ； 有两个相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程__________________________ ； 没有实数根 当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程__________________________ ．知识点 1 直接开平方降次法 例 1 用直接开平方降次法解下列方程： (1)3x2－1＝5； (2)4(x－1)2－9＝0； (3)4x2＋16x＋16＝9。 思路点拨：上面的方程都能化成 x2＝p 或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得 x＝± p或 mx＋n＝± p(p≥0)．解：(1)3x2－1＝5 可化成 x2＝2，则原方程的解为 x1＝－ 2，x2＝ 2。

9 (2)4(x－1) －9＝0 可化成(x－1) ＝4。 3 两边开平方，得 x－1＝± 2。 1 5 则原方程的解为 x1＝－2，x2＝2。2 2(3)4x2＋16x＋16＝9 可化成(2x＋4)2＝9。 两边开平方，得 2x＋4＝± 3。 7 1 则原方程的解为 x1＝－2，x2＝－2。跟踪训练1．一元二次方程 x2－3＝0 的根为( C ) A．x＝3B．x＝3C．x1＝ 3，x2＝－ 3D．x1＝3，x2＝－32．用直接开平方降次法解下列方程： (1)x2－16＝0； (2)(x－2)2＝5。解：(1)x2－16＝0，即 x2＝16。 ∴x1＝4，x2＝－4。(2)(x－2)2＝5，即 x－2＝± 5。 ∴x1＝2＋ 5，x2＝2－ 5。知识点 2 配方法(重难点) 例 2 用配方法解下列方程： (1)x2＋6x＋5＝0； (2)2x2＋6x－2＝0； (3)(1＋x)2＋2(x＋1)－4＝0。 思路点拨：用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)化二次项系数为 1； (2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)将方程变为(x＋m)2＝n 的形式； (5)用直接开平方降次法解变形后的方程(如果右边是非负 数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解)．解：(1)移项，得 x2＋6x＝－5。

配方，得 x2＋6x＋32＝－5＋32，即(x＋3)2＝4。 两边开平方，得 x＋3＝±2，即 x1＝－1，x2＝－5。(2)移项，得 2x2＋6x＝2。 二次项系数化为 1，得 x2＋3x＝1。配方，得 x2?3? ?3? 2 ＋3x＋?2? ＝1＋?2?2， ? ? ? ?? 3?2 13 即?x＋2? ＝ 4 。 ? ?3 13 两边开平方，得 x＋2＝± 2 ， 3 13 3 13 即 x1＝－2－ 2 ，x2＝－2＋ 2 。(3)去括号整理，得 x2＋4x－1＝0。移项，得 x2＋4x＝1，配方，得(x＋2)2＝5。两边开平方，得 x＋2＝± 5， 即 x1＝－2－ 5，x2＝－2＋ 5。跟踪训练3．(2011 年甘肃兰州)用配方法解方程 x2－2x－5＝0 时，原 方程应变形为( C ) A．(x＋1)2＝6 C．(x－1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝94．用配方法解方程：(1)x2－4x－3＝0；(2)4x2－7x－2＝0。解：(1)移项，得 x2－4x＝3。 配方，得 x2－4x＋4＝3＋4，即(x－2)2＝7，x－2＝± 7。∴x1＝2＋ 7，x2＝2－ 7。

7 1 (2)移项，得 4x －7x＝2。二次项系数化为 1，得 x －4x＝2。2 27 ?7?2 1 ?7?2 配方，得 x －4x＋?8? ＝2＋?8? ， ? ? ? ? ? 7?2 81 7 9 1 ? ? 即 x－8 ＝64。∴x－8＝± 。∴x1＝－4，x2＝2。 8 ? ?2知识点 3 公式法(重点) 例 3 用公式法解下列方程． (1)2x2－4x－1＝0; (2)5x＋2＝3x2；(3)(x－2)(3x－5)＝1; (4)4x2－ 2 x＋1＝0。 思路点拨：运用公式法解一元二次方程时要注意：(1)方程要化为一般形式；(2)确定系数时要包含各项前面的符号；(3)先确定判别式的符号再将其代入求根公式．解：(1)a＝2，b＝－4，c＝－1， b2－4ac＝(－4)2－4×2×(－1)＝24>0，－?－4?± 24 4± 2 6 2± 6 ∴x＝ ＝ 4 ＝ 2 。 2×2 2＋ 6 2－ 6 ∴x1＝ 2 ，x2＝ 2 。(2)将方程化为一般形式 3x2－5x－2＝0， a＝3，b＝－5，c＝－2， b2－4ac＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，－?－5?± 49 5± 7 ∴x＝ ＝ 6 。

2×3 1 ∴x1＝2，x2＝－3。(3)将方程化为一般形式 3x2－11x＋9＝0，a＝3，b＝－11，c＝9，b2－4ac＝(－11)2－4×3×9＝13>0，－?－11?± 13 11± 13 ∴x＝ ＝ 6 。 2×3 11＋ 13 11－ 13 ∴x1＝ ，x2＝ 。 6 6 (4)a＝4，b＝－ 2，c＝1， b2－4ac＝(－ 2)2－4×4×1＝－14<0，因为在实数范围内，负数不能开平方，所以原方程无实数根．跟踪训练5．用公式法解方程 6x－8＝5x2 时，a，b，c 的值分别是 ( C ) A．5配方公式，6，－8 C．5，－6，8 B．5，－6，－8 D．6，5，－86．用公式法解方程：5x2－8＝－2x。 解：原方程可化为 5x2＋2x－8＝0。 ∵a＝5，b＝2，c＝－8， ∴b2－4ac＝22－4×5×(－8)＝164>0。－2± 164 －1± 41 ∴x＝ ＝ 。 5 2×5 －1＋ 41 －1－ 41 ∴x1＝ ，x2＝ 。 5 5

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