动手切蛋糕，帮你解决数学中的一类重要难题！

作者：哪吒游戏网来源：哪吒游戏网 2020-07-10 18:00:08

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观察可能导致某种发现，观察将揭示某种规则、模式或定律。

——波利亚

生日蛋糕怎么切？

这个月是孩子最喜欢的月份，因为有他的生日。当他说到鲜奶蛋糕时，垂涎欲滴。

想吃蛋糕。好，今年得动点脑子。

我与他约定，如果能完成切蛋糕的题目，那么，就可以买他想要的那款生日蛋糕。

题目是这样的：切三次，最多能把蛋糕分成多少份？切四次呢？如果切五次、六次会怎样？

这是一个非常具有实际意义的数学题目，也是我做过的一道至今记忆犹新的奥数题。数学应该源于生活，指导应用。纯粹形而上的数学，会让人乏味。

由于蛋糕的诱惑，孩子接了这个题目之后就开始尝试。切三次不难，经过几次尝试，他给出了7块的答案。那切四次最多能切成多少块，就不那么直观了。

观察与总结

经过几番尝试，他总结出两点直观的经验：（1）几刀不要相交在一点；（2）相交的越多，可以切的块数越多。最后，他得出了切四刀可以分成11块的结论。至于说能不能更多，他不知道。我想，对一个二年级的学生来说，这就够了。好吃的生日蛋糕，有了！

观察力是思维的触角。观察现象，探寻本质，是解决许多问题的必然过程。贝弗里奇说：“培养那种以积极的探究态度关注事物的习惯，有助于观察力的发展。

在研究工作中养成良好的观察习惯比拥有大量的学术知识更重要，这种说法并不过分。” 被称为数学界三大难题之一的“哥德巴赫猜想”，其发现者哥德巴赫在数学领域并没有什么地位切蛋糕，但他善于观察，并大胆提出了一个至今都不能被证伪的猜测，其在普通人中的知名度甚至高过了数学大家高斯和欧拉，可谓是对善观察者最高的奖励了。

要培养孩子的观察力，就要善于把观察的任务具体化，善于引导他们从现象乃至隐蔽的细节中探索事物的本质。从多种尝试中进行观察总结，我们会得到一些直观的结论。这些结论，有些可能是正确的，有些可能是不正确的。不正确的结论在更多的观察样本中会被证伪。而正确的结论，则会成为指导后续行为的准则。

但是，许多时候得出的这些结论还只是表象，并没有揭示真正的本质。比如刚才切蛋糕的结论：切的几刀不要相交在一点。这可以作为指导后续操作的准则。但为什么不要相交在一点？实际上，如果进一步挖掘，每一根线段或开口线段都把原来的一块一分为二。因此，交点越多，最后的线段就越多，而几根线相交于一点显然降低了交点的个数，从而降低了线段的数量。

抽象提升

一般而言，这个问题的标准解答需要有递归的思维，这超出了2年级学生的范畴。抽象出来，这个问题就是n条直线最多可以把一个平面划分成多少块？假设第n条直线最多可以把一个平面划分成f(n)块。那么，再多一条直线，也就是n+1条直线，可以最多把平面划分成f(n+1)块。第n+1条直线最多与前面的n条直线有n个交点，从而把第n+1条直线分成n+1段，每一段都把原来的一块一分为2。

因此，f(n+1)=f(n)+n+1。下图给出了n=4的示意图。有了这个递推关系，后面就迎刃而解了。

递推抽象对以形象思维为主的小学生还是太过高端了。那他们能不能通过观察的方法得到理论上较为合理的解释呢？再回到前面对于切4刀的经验总结，一方面，如果几刀交于一点，显然是不能切出最多块数的，比如切4刀图中的(e)(f)(j)(l)。只要把交于一点的一条线稍微移动一下，就可以切出更多的块数；而另一方面，如果没有三刀交于一点，那么从观察可以看出，交点越多，切的块数越多，并且，每多一个交点，就多切一块，比如从(a)->(b)->(c)->(g)->(i)->(k)->(m)。切的块数最少显然是n条直线互不相交时，为n+1块，之后每多一个交点就多出一块。于是问题就转变成了n条直线最多可以有多少个交点，相对而言就直观和容易驾驭的多了。

前两天看到孩子的试卷上有一道找规律的题目：

1，2切蛋糕，4，7，11，___，____。如果从0条直线开始，把直线切平面所得的块数罗列在这里，你会发现和上面的序列一模一样！因此，即便没有第一种的抽象思维能力，也没有第二种观察的深度，那也不要灰心，还可以通过简单尝试和找规律的办法，猜出问题的答案。

突破惯性思维

到此，本以为这次讨论结束了。但昨天晚上跟孩子再次聊到切蛋糕时，他来了一句：我觉得3刀可以切8块，因为可以竖着切，也可以横着切。这个新发现让我很欣喜。正如前面一篇文章所讲，很多时候，惯性思维会给我们的思想戴上枷锁。谈到切蛋糕，99%的人都会认为是垂直切。事实上，我的问题里并没有说非要垂直切。我们可以从任意的角度去切蛋糕，就跟切西瓜一个道理。