用动量守恒定律分析火箭的飞行速度

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2000 年 12 月 第 4 期 焦作大学学报 J OU RNA L OF J IAOZU O U N IV E RSIT Y № ． 4 Dec．2000 用动量守恒定律分析火箭的飞行速度 吕 增 建 (焦作大学) 摘 定律 的误 区。 关键词 要 通过火箭飞行速度的讨论和分析，阐明了相对速度的同时性，消除了应用动量守恒 动量 守恒 相对速度的 同时性 飞行速度 1动量及动量守恒定律 动量守恒定律是自然界的普遍守恒定律之一，在高速和微观领域里，牛顿定律不再适用，而动量 概念仍然有用，动量守恒定律仍然成立，只是质点动量的表达式与经典力学中的表达式不同。 在经曲力学中 声= 优 在相对论力学中 对于微观粒子 在新近的一些物理书中，往往从实验出发总结出动量守恒定律，就在于强调它的独立性和普遍 性，本文只限于讨论经典力学问题。 从本质上讲，一个系统 (当然也可以是一个物体的系统) 的动量守恒，可表述为： 或表述为 △ = 0 ，至于在不同情况下动量守恒的表述则是多种多样的。如由两个质量分别为 优2的物体组成的系统，在系统所受合外力为零的条件下，系统的总动量守恒，即 优。 、优2之间有相 互作用，甚至发生碰撞 ，一个物体分裂为两个物体 ，或是两个物体结合为一个物体等等，系统的总动 量守恒，可视具体情况而分别写出 = 优 ／ ~／ 1 一 = h ／ c = 恒矢量， 1、 优1 1 + 优2 2 =优1 1 + 优2方 2 优 1 1 +优 2 2=优 1 1 +优 2 2 ( 优1 1 = ( 7 1+ 1 + 优2) 1 = 优1 1+ 优2 2 2) 在应用动量守恒定律处理问题时要注意：(1) 在系统所受外力的矢量和恒为零的情形下，尽管系统的总动量恒定不变 ，但是由于内力的作 用，系统内各物体的动量都可以发生改变。

(2) 动量是矢量，因此在应用动量守恒定律的数学表达式时，必须明确它是一个矢量式，如果它 是一维运动，则可转化为标量式进行处理。 (3) 系统所受合外力不为零，系统的总动量不守恒，但是，如果系统所受合外力在某一方向的分 量为零，则系统的总动量在该方向上的分量守恒。 ． (4) 应用动量守恒定律要格外注意速度的相对性。系统内各物体的速度应是对同参照系而言，否 则要用相对速度公式换算成对同一参照系。 2’ 火箭的飞行原理 宇宙飞船、导弹等均以火箭为动力，火箭飞行的原理实质上就是动量守恒定律。火箭体燃烧室 内，燃料燃烧生成的高温高压气体不断由火箭向后喷出，获得向后的动量，因此按动量守恒定律 ，火 箭获得向前的动量。燃料不断燃烧，连续向后喷出气体，使火箭不断地受到向前的反冲力，这个反冲 维普资讯 第 4 期 吕增建：用动量守恒定律分析火箭的飞行速度 35 力 即推动火箭箭体加速飞行的动力。由于燃料不断燃烧，火箭体质量不断减少，所以火箭体是一个变 质量物体。 3火箭的飞行速度及收尾速度 这里只限于讨论一种理想的情况：火箭在 自由空间飞行 ，即火箭不受重力和空气阻力等任何外 力。

根据这一假设，火箭体和喷出的气体组成系统，在喷气过程中系统总动量守恒。 设在 t 时刻火箭质量为优 ，速度为 方火箭的速度，在 (这里火箭质量的增量 dm 为负值) ，相对火箭的喷气速度为 式及火箭 (一级) 的收尾速度。 t 时刻，喷气前火箭系统的总动量为 = 优 t + dt 时刻，喷气前后火箭体的动量为 ( t + dt 时刻，所喷出的气体的动量为 ( 一dm)( 其中( + + d ) 为所喷出的气体相对地面的速度。当喷出气体相对火箭的速度为 速度已改变为 - 1 - d ，而不是 ， 和方+ d 是同时刻的。当喷出气体以后 ，火箭箭体的速度只能是 时间内由尾部向后喷出质量为 一dm 的燃烧气体 ，试求火箭在 t + dt 时刻的速度表达 + dm)( + d ) + 方+ d ) 时，火箭体的 + dE 。 t + dt 时刻火箭的速度，喷气后火箭体系的总动量为 根据动量守恒定律，可以写出沿火箭前进方向的投影式 ( m + dm) ( 展开整理后得 mdv + udm = 0 故可写出 t + dt 时刻火箭体的速度为 2 = ( m + dm)( + d ) + [一dm( 十 + d )] + dv ) + ( 一dm) ( 一U + dv ：一U · dm／ m + dv = 一U · dm／ m + + dv ) = my ，由于 dm < 0 ，自 然有 + dv > ， 即火箭体因喷出气体而加速。

进一步求火箭喷完气体后的速度，即收尾速度。设火箭刚起飞时质量为 m。 ，速度为零，火箭关 机时刻火箭的质量为 优 ，火箭最终得到的速度为 I： d ： 一 r d m ／ 优 ‘ 卅0 火箭的末速 = 一UIn( ／ m0) = UIn( m0／ m) 此式即为火箭的理想速度公式，也称齐奥尔科斯基公式。 在有的书中是这样写的： t 时刻，喷气前火箭系统的总动量是P1 = 7 7 1 " O ‘ t + dt 时刻，喷气后火箭体系的总动量是P2 = ( z + dm)( 但在展开 P1 = P2时忽略二阶小量 dm · dv 后得到相同的结果，这后一种处理方法是不严格的。 总之，动量守恒定律是 自 然界中最为普通的守恒定律之一，它有着十分广泛的应用。在用动量守 恒定律分析解决问题时，正确理解相对速度的同时性是处理好问题的关键。针对一个物理过程的两个 不同时刻，相对于同一惯性系，分别写出两个不同时刻系统各物体的动量及其总和，或者各物体的动 量在某一方向上的分量及其总和，运用守恒定律建立方程，方可求得问题的正确解答。 ，对上述方程积分，则有 + dv) + (一dm) (一U + ) 参考文献 1 李椿 ，夏学江．大学物理 (理论核心部分) ．北京 ：高等教育出版社 ，1997 23孟秀兰．物理通报 ．1998，10 (26) 复旦大学，上海师范大学物理系．物理学 (力学)．上海：上海科学技术出版社 ，1982 维普资讯

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