计算简化后的火箭升空速度表达式

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想计算在大气层中上升的火箭的最佳速度，我尝试先计算简化模型……但是发现连简化的模型都不会弄……感觉自己能力实在是做不出来，特此求各位指点帮助

现在假设我们在一个质量为M，半径为R的星球上，该星球没有大气。

我们有一个作弊（或者说坑爹）的火箭，火箭质量为m，推力为T。火箭的质量是常量，也就是说不会随着燃料消耗而减小。

在t=0时刻，火箭速度v=0，海拔h=0

在t=t时刻，则火箭的加速度为：

求速度 v 关于时间 t 的表达式

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作为参考起见，简化前的模型如下（也是经过简化的，否则只能数值求解了）：

假设火箭沿重力矢量的反方向直线上升火箭的速度，为一维运动

假设火箭只包含死重和燃料，初始质量为M0，燃料耗尽后的干重M1

发射星球质量M火箭的速度，重力常数G，星球半径R

假设火箭的流体阻力形状参数为常量大气的密度和海拔为指数关系，且与温度无关

则受到的空气阻力为

其中：

Fd 为 空气阻力（N）

C 为形状参数之类一系列的参数，我们把它们整合到一个常量中（单位最后好像是Pa*m^2)

v是当前的火箭速度（m/s）

h是当前火箭海拔（m）

Hs是假设的指数关系的一个因子（常量，m）

假设火箭的最大推力为T（N），实际推力可取值[0, T]，推力和燃料消耗速度正比，即

么在某一时刻t，火箭高度为h，速度为v的时候，加速度为

然后求当耗尽所有燃料（

）时，是否存在最佳推力出力控制方案使得火箭的总能量最大，即动能+势能。

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