切蛋糕(切蛋糕的学问)

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刘瑞祥

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一块蛋糕切N刀，最多可以切多少块？

要研究这个问题，我们可以先把问题简化一下。这个问题简化下来的第一个层次是，如果要求所有的刀痕都平行，那能切成多少块？

显然，这把蛋糕看作是一维的了，第一刀切成两块，以后每次多一块。即：a1=2，an=an-1+1。也显然，这是个等差数列切蛋糕，首项为2，公差为1，即an=n+1。

如果要求必须竖切呢？那就是把蛋糕看作是二维的，前几刀的结果显然是b1=2，b2=4，b3=7。

再切怎么切？注意前面的图里，切三刀的时候，并没有把原来的四块都切开，而是把原来两刀交点的一侧（四块中的三块）切开了。显然，第四刀也不可能把已经有的七块都分开，而最多只能这样：

即b4=11。这是因为，要想切得多，那么第四刀就不能和前三条刀痕的任意一条平行，必须得相交，第四刀每经过前面的一条刀痕，都会多出一块，直到最后的时候再多出来一块，因此第四刀切出的块数比第三刀多了4块。或者，我们看上图里的红线，被原来的三条切痕分成四段，每段代表新切出的一块，因此是比三刀的时候多了四块。

根据上面的规律可以看出，切第n刀的时候增加n块。即b1=2，bn=bn-1+n。如果我们令b'n=bn+1-bn，那么可以得到：b'1=2，b'2=3，b'3=4。这显然是个等差数列，而原来的bn则是所谓的二阶等差数列（具体到本问题，是从b2开始，b1不算）。可以证明，这个数列的通项公式是一个二次函数，即：

bn=n2/2+n/2+1

三维——也就是允许你任意切割——的情况呢？

容易知道，c1=2，c2=4切蛋糕，c3=8，但接下来会按着二倍的关系递增吗？那可就是指数递增了，我相信很多人都知道那个发明国际象棋的印度传说，也相信很多人知道只要折30多次纸就能超过珠穆朗玛峰高度的故事，所以我们还是谨慎点好。

三刀情形，这里借用了空间直角坐标系八个卦限的命名方法，其中第六七卦限分别在第二三卦限下方未标出

切四刀的情形

显然，切四刀时不能把已经有的这八块都切开，这一刀（应该延伸开，这里为清晰起见只画了一部分）只能经过其中的七块，即上图中八个区域里，水平面上面的四个区域都分成两块，水平面下面的四个区域有三个被分开，因此c4=15。或者，我们可以看出，下图红色三角形被原有的截面分成七块，因此比三刀的时候多了七块。

上图的平面ABC只画出了在第一卦限中的部分，下面是整个平面ABC各部分所在卦限。

罗马数字表示平面ABC各部分所在卦限位置，没有在第七卦限部分

我们可以计算一下c'n=cn+1-cn，得到：c'1=2，c'2=4，c'3=7。显然，c'n是前面得到的二阶等差数列。因此，三维时候应该是三阶等差数列，如果没有错误的话，则通项公式是一个三次多项式：

cn=n3/6+5n/6+1

不过最后要说明的是，我对本文第一部分（一维）有200%的把握，对第二部分（二维）只能说有很大把握，因为我没有进行证明，至于第三部分（三维），呵呵，只能说我的感觉这样的，很希望有人能给出第二三部分的证明。

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