阳马(阳马和鳖臑)

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阳马和鳖臑 我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中， 积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法．这些方法以 实际问题的形式被收入我国古代数学名著 《九章算术》 卷五中， 题为 “商功” ． 实 质上，这些算法的原理是建立一条公理和一组特殊的模型，用以计算各种几 何体的体积． 这组特殊的几何体模型如图 6—93 所示． 所建立的公理就是：如果长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则它的 体积是 V＝a×b×c．我国古代把长方体称为“长方” ． 剖分“长方”得两个“堑堵” ；剖分“堑堵” ，得一个“阳马”和一个“鳖 臑” ．这一组模型的外形割补关系，如图 6－93 所示一目了然．它们的体积数 量关系是 6∶3∶2∶1，同学们可自行验证．其中最关键的是“阳马”与“鳖 臑”体积之比为 2∶1．这个比例可以用分割的方法加以证明．西晋时代著名 数学家刘徽以正方体分割的“阳马” 、 “鳖臑”为例，证明了“阳马”与“鳖 臑”的体积比为 2∶1．其他立体割分的“阳马” 、 “鳖臑”也可依此进行证明． 刘徽的证明过程如下： 如图 6－94 所示， “阳马”为黑色， “鳖臑”为红色，它们的长、宽、高 均为 2 尺．(图中无法显示黑色与红色，读者对证明过程大致了解即可．) 第一步，组合．黑“阳马”与红“鳖臑”组合成长、宽、高各为 2 尺的 黑—红堑堵． 第二步，分割．用平分黑—红堑堵的长、宽、高的平面阳马，分割黑—红堑 堵．从图中可看出：黑阳马含 1 个小正方体，2 个小堑堵和 2 个小阳马，它 们的长宽高均为 1 尺；红鳖臑含 2 个小堑堵和 2 个小鳖臑，它们的长、宽、 高也是 1 尺． 第三步，组合．用第二步分割出来的模型进行组合．希望找出所有可经 组合得到的立方体个数．其中黑小立方体 1 个，黑小堑堵组成的小立方体 1 个，红小堑堵组成的小立方体 1 个，由黑小阳马和红小鳖臑组成的堑堵 2 个 又可组截一个黑一红小立方体 1 个．因此，共 4 个小立方体． 取出黑小立方体 2 个，红小立方体 1 个，它们的体积之和占总体积的 3 ／4，而黑、红体积之比为 2∶1．余下黑—红小堑堵 2 个． 第四步，分割．分割余下的黑—红小堑堵，方法同第二步． 第五步，组合．同第三步．注意到每分割 1 个黑—红堑堵之后，通过第 三步的组合总可以取出总体积 3/4 的黑、红小立方体，其黑、红体积之比为 2∶1，并余下 2 个长、宽、高各减半的黑—红小堑堵． 如此组合，分割，组合，分割，??以至“半之称少，其余称细，圣细 曰微，微则无形，由是言之，安取余哉” ．这样无限分割，取其无穷级数和， 不仅能证明阳马与鳖臑的体积比为 2∶1，也得到阳马、鳖臑与长方体之间的 体积关系：若第一次分割的黑—红堑堵的长、宽、高分别为 a，b，c，则阳 马为 1／3abc，鳖臑为 1／6abc．而 abc 正好是长方体的体积．刘徽最后总结 说：鳖臑非同一般用器，当阳马长短宽窄不一时，若不用鳖臑阳马，就得不出阳 马的体积，没有阳马就不能算出锥、台之类立体的体积，可见鳖臑、阳马是 进行体积计算的最基本的立体模型．

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