一笔画攻略(nameofcsdn的博客)

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规则介绍：

这个游戏是要一笔画完整个图，由于起点为给出，所以需要自己寻找。

如果一开始起点就选错了，那么无论如何都无法过关了。

这个游戏，是难度递增的，可以分成四大类。

第一种，是只有蓝线的（有的上面还有箭头），也就是简单图。

第二种，有了红线（有的上面还有箭头），红线其实就是二重平行边。

第三种，有了传送门，传送门是2个黄点组成的一对。（图中只有1个传送门，也只有2个黄点）

第四种，有了绿线，绿线都是带箭头的，而且其中一端是绿点。每次经过绿点，绿线的方向就会改变。

下面分这四种类型，分别介绍如何寻找起点。

一，简单图

简单图有2种，一种是没有奇点的：

无论是有向图还是无向图，一定是一个闭环，那么任何点都可以用作起点。

另外一种是有2个奇点的：

2个奇点必定是起点和终点。

在无向图中，任意一个做起点，另外一个做终点，都可以。

在有向图中，有的像图12一样，2个点都可以作为起点，有的像图14一样，只有1个点能作为起点。

对于有唯一起点的情况，要想找出起点，还需要下面的定理。

定理一：在有2个奇点的有向图中，除了2个奇点之外，所有的点都满足入度==出度，

而这2个奇点中，起点满足入度==出度-1，终点满足入度==出度+1（证明略~~~）

图14中这个定理的使用：

分析点3就可以发现，点3到点2之间的线的方向是2→3而不是3→2，如图。

同理，分析点4可以发现是4→2，分析点5可以发现是2→5。

那么，点2即为起点，点1即为终点。

二一笔画攻略，带二重平行边的图

红线的意思是，这条线必须经过2次，其实也就是二重平行边，1条红边等价于2条平行的蓝边。

理解什么叫二重平行边之后，问题就可以轻松地等价转化成前面的简单图的问题了。

如图22中，点1和点2是奇点，而且点1的出度至少为2，所以点1是起点，点2是终点。

三，带1个传送门的图

定理二：

对于2个传送门的2个端点，即黄点A和B，A的入度减B的出度一定是0或者1或者是-1

如果是1，那么A是终点，如果是-1，那么B是起点。

对于A和B之外的点，如果是奇点，就一定是起点或终点，对于A和B就不一定了。

定理二的推论：

A和B的度一定相差为2或者1或者0

1，如果相差是2，那么度大的那个点既是起点，又是终点，除了A和B之外没有奇点。

2，如果相差是1，那么度大的那个点即为起点或终点，除了A和B之外恰有1个奇点，这个点也是起点或终点。

如图33，因为点1的入度至少为2，所以点1是终点，点3是起点。

3，如果相差是0，那么又有2种情况：

（1）除了A和B之外恰有2个奇点，那么这2个点就是起点和终点

（2）除了A和B之外没有奇点，那么整个图一定是闭环，任何点都可以作为起点。

四，带绿线的图

绿线本质上是一条有向边，只不过方向不好确定。

所以说，以上提到的所有内容，对于带绿线的图同样成立。对于简单的情况，用上述内容即可解决。

但是，对于大部分情况，上述内容无法得到结果，因为绿线不是无向边，必须按照绿箭头的方向走，而绿箭头的方向却又总是变，所以定量的分析效果不大。

所以接下来，我会列举一些经典的情形，来给出一些方法。实际上，这些方法也可以用到无绿线的图中，效果一样很好。

1，基于闭环的分割（不一定保证对，但目前还没有出错过，而且有奇效）

把图分割成2个子图，一个图是闭环（多个闭环合起来还是闭环），另外一个图包含绿线。

让包含绿线的图尽量简洁，然后优先解决这个图，最后只要解决这个闭环就可以了。

例1：

例2：

例3：

（红线不是闭环一笔画攻略，但是红线加闭环还是闭环）

例4：

例5：

对于图133，有2个点是奇点，但是不知道哪个是起点。

定理三：

如果一个图可以分成2个子图，这2个子图只有2个公共点（都不是黄点），而且这2个点就是起点和终点，那么这2个子图一定有1个是闭环。

根据这个定理，图133虽然有2个黄点，但是起点和终点都不是黄点，而且可以分成上下2个子图，所以上面的子图一定是闭环，所以只需要先解决下面的子图。

一眼看过去，很难看出上面的子图是闭环，不过确实是闭环。

2，完全分割图

随便命名的，就是指这种如果不考虑传送门的效果的话，2个部分完全分割开来的图。

如果其中有1个部分是不自相交的闭环的话，那就太简单了，起点一定在另外1个部分。

（考虑到整个图为闭环的情况，更严谨的说法应该是，起点一定可以是另外1个部分上面的点）

在另外1个部分找起点的时候，可以忽略掉传送门，这样就很简单了。

3，对称性

这2个图都有着比较强的对称性，但不是完全对称。

2个都是，2个奇点都可以作为起点

4，基于有向小闭环的消去原理

其实这个和基于闭环的分割差不多，一步步挖掘出小闭环，必须是有向的。

图109可以分成5个子图，4个有向小闭环都消去之后，就只剩1条简单的路径了。

5，基于传送门的分割

根据传送门，分割成若干块，每一块都相当于若干条连接2个传送门的线段。

很明显，她们是有主次之分的。

一般来说，主分区只有1个，其他都是次分区。

次分区的特点很明显，简单，无限制或者限制很少（限制主要指箭头）。

当然，还有一种特殊的情况，箭头特别多，但是全部指向同一个传送门，这也是一种很有趣的闭环。

最重要的是，次分区没有奇点，可以构成闭环。

这样看起来，每个分区都可以轻松解决掉。

主分区是一条路径，除了起点和终点之外，至少有1个点是传送门，所以主分区是由2部分构成，起点→传送门，传送门→终点。

所以完整的路径是：起点→传送门，第一个次分区，第二个次分区......最后一个次分区，传送门→终点。

6，基于邻居的出度和入度估计法（类似贪心算法）

我之所以总结出这样一个方法，实在是因为上面的方法对下图120几乎无效，图120实在是难的离谱。

点和边的位置关系可以分4类：

第一种，点是边的2个端点之一

第二种，点和边的2个端点都是邻居

第三种，点和边的2个端点，一个是邻居，一个不是邻居

第四种，点和边的2个端点都不是邻居

基于邻居的出度和入度估计法：只考虑和奇点形成第一种或者第三种位置关系的有向边，计算所有这样的边对奇点的入度或者出度的贡献的总和，然后比较2个奇点得到起点和终点。

首先，点1和点2是奇点，ABCD四条边都是有向边。

对于点1，只考虑ABC，对于点2，只考虑D

然后计算贡献

对于点1 A：入度+2 B：出度+1 C：出度+1 合计：贡献为0

对于点2 D：入度+2 合计：贡献为入度加2

所以，2是终点，1是起点。

注意：当2个奇点的计算值相差为2或者超过2，往往非常可信，相差为1甚至0的话就不是特别可信了。

这里面还要注意绿线的问题，如果绿线的方向可以预先确定的话，绿线也可以参与计算贡献，但是如果绿线的方向无法确定，或者特别麻烦，懒得分析这个，那绿线可以不参与计算贡献。

再看2个例子：

很明显点1和点2是起点和终点。

点1的计算值为0，点2的计算值为出度加2，所以点2为起点。

很明显点1和点2是起点和终点。

点1的计算值为0，点2的计算值为入度加1，所以点1为起点。

7，优先级原则

原则一，对于能够确定方向的绿线，优先干掉绿线

原则二，优先级，有向红边>有向蓝边>红边>蓝边

8，基于绿线的分割

有些图是由子图+绿线+子图构成的，即绿线是连接2个子图的唯一的边。

这里的子图，指的是不包含传送门或者包含2个传送门的图。

开局的时候绿箭头的方向一定就是最后通过绿线的方向，所以绿点所在的那个子图一定包含起点。

（这个子图包含绿点）

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