2013青岛中考数学题(含答案)

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市 山东省青岛市 2013 年中考数学试卷 分 一、选择题（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分） 1．（3 分）（2013•青岛）﹣6 的相反数是（ ） A． ﹣6 B． 6 C． ﹣ D． 2．（3 分）（2013•青岛）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．（3 分）（2013•青岛）如图所示的几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．（3 分）（2013•青岛）“十二五”以来，我国积极推进国家创新体系建设．国家统计局《2012年国民经济和社会发展统计公报》指出：截止 2012 年底，国内有效专利达 8750000 件，将8750000 件用科学记数法表示为（ ）件． A． 8.75×10 4 B． 8.75×10 5 C． 8.75×10 6 D． 8.75×10 7 5．（3 分）（2013•青岛）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的 5 个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：现将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了 100 次2013青岛中考，其中有 10 次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个． A． 45 B． 48 C． 50 D． 55 6．（3 分）（2013•青岛）已知矩形的面积为 36cm 2 ，相邻的两条边长分别为 xcm 和 ycm，则 y与 x 之间的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 7． （3 分）直线 l 与半径为 r 的⊙O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 6，则 r 的取值范围是（ ） A． r＜6 B． r=6 C． r＞6 D． r≥6 8．（3 分）（2013•青岛）如图，△ ABO 缩小后变为△ A′B′O，其中 A、B 的对应点分别为 A′、B′点 A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P （m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ） A． （ ，n） B． （m，n） C． （m， ） D． （ ）分 二、填空题（本题满分 18 分共有 6 道题，每小题 3 分） 9．（3 分）（2013•青岛）计算：2﹣ 1 += ． 10．（3 分）（2013•青岛）某校对甲、乙两名跳高运动员的近期调高成绩进行统计分析，结果如下： =1.69m， =1.69m，S 2 甲 =0.0006，S 2 乙 =0.00315，则这两名运动员中的成绩更稳定． 11．（3 分）（2013•青岛）某企业 2010 年底缴税 40 万元，2012 年底缴税 48.4 万元．设这两年该企业交税的年平均增长率为 x，根据题意，可得方程． 12．（3 分）（2013•青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数 y=﹣x+1 的图象相交于点 P，则这个正比例函数的表达式是． 13．（3 分）（2013•青岛）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是． 14．（3 分）（2013•青岛）要把一个正方体分割成 8 个小正方体，至少需要切 3 刀，因为这 8 个小正方体都只有三个面是现成的．其他三个面必须用三刀切 3 次才能切出来．那么，要把一个正方体分割成 27 个小正方体，至少需用刀切 次；分割成 64 个小正方体，至少需要用刀切 次． 分 三、作图题（本题满分 4 。

分）用圆规、直尺作图，不写做法，但要保留作图痕迹。 15．（4 分）（2013•青岛）已知：如图，直线 AB 与直线 BC 相交于点 B，点 D 是直线 BC 上一点． 求作：点 E，使直线 DE∥AB，且点 E 到 B，D 两点的距离相等．（在题目的原图中完成作图）分 四、解答题（本题满分 74 分，共有 9 道小题） 16．（8 分）（2013•青岛）（1）解方程组： ；（2）化简：（1+ ）• ． 17．（6 分）（2013•青岛）请根据所给信息，帮助小颖同学完成她的调查报告 2013 年 4 月光明中学八年级学生每天干家务活平均时间的调查报告 调查目的 了解八年级学生每天干家务活的平均时间 调查内容 光明中学八年级学生干家务活的平均时间 调查方式 抽样调查 调查步骤 1．数据的收集 （1）在光明中学八年级每班随机调查 5 名学生 （2）统计这些学生 2013 年 4 月每天干家务活的平均时间（单位：min）结果如下（其 中 A 表示 10min，B 表示 20min，C 表示 30min） B A A B B B B A C B B A B B C A B A A C A B B C B A B B A C 2．数据的处理： 以频数分布直方图的形式呈现上述统计结果 请补全频数分布直方图 3．数据的分析： 列式计算所随机调查学生每天干家务活平均时间的平均数（结果保留整数） 调查结论 光明中学八年级共有 240 名学生，其中大约有 名学生每天干家务活的平均时间是 20min 18．（6 分）（2013•青岛）小明和小刚做摸纸牌游戏．如图，两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是 2 和 3，将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏．当两张牌的牌面数字之积为奇数，小明的 2 分，否则小刚得 1 分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．19．（6 分）（2013•青岛）某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为 6600 元，第二次捐款总额为 7260 元，第二次捐款人数比第一次多 30 人，而且两次人均捐款额恰好相等．求第一次的捐款人数．20．（8 分）（2013•青岛）如图，马路的两边 CF，DE 互相平行，线段 CD 为人行横道，马路两侧的 A，B 两点分别表示车站和超市．CD 与 AB 所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽 20 米，A，B 相距 62 米，∠A=67°，∠B=37°． （1）求 CD 与 AB 之间的距离； （2）某人从车站 A 出发，沿折线 A→D→C→B 去超市 B．求他沿折线 A→D→C→B 到达超市比直接横穿马路多走多少米． （参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ，sin37°≈ ，cos37°≈，tan37°≈ ）21．（8 分）（2013•青岛）已知：如图，在矩形 ABCD 中，M，N 分别是边 AD、BC 的中点，E，F 分别是线段 BM，CM 的中点． （1）求证：△ ABM≌△DCM； （2）判断四边形 MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当 AD：AB=时，四边形 MENF 是正方形（只写结论，不需证明）22．（10 分）（2013•青岛）某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件．试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案： 方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元； 方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．23．（10 分）（2013•青岛）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1 和图 2 发现并验证了平方差公式和完全平方公式． 这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 【研究速算】 提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是 10 的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模： 用矩形的面积表示两个正数的乘积，以 47×43 为例： （1）画长为 47，宽为 43 的矩形，如图 3，将这个 47×43 的矩形从右边切下长 40，宽 3 的一条，拼接到原矩形上面．（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43 的矩形面积或（40+7+3）×40 的矩形与右上角 3×7 的矩形面积之和，即 47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021． 用文字表述 47×43 的速算方法是：十位数字 4 加 1 的和与 4 相乘，再乘以 100，加上个位数字3 与 7 的积，构成运算结果． 归纳提炼： 两个十位数字相同，并且个位数字之和是 10 的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）． 【研究方程】 提出问题：怎样图解一元二次方程 x 2 +2x﹣35=0（x＞0）？ 几何建模： （1）变形：x（x+2）=35． （2）画四个长为 x+2，宽为 x 的矩形，构造图 4 （3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2） 2 或四个长 x+2，宽 x的矩形面积之和，加上中间边长为 2 的小正方形面积． 即（x+x+2） 2 =4x（x+2）+2 2 ∵x（x+2）=35 ∴（x+x+2） 2 =4×35+2 2 ∴（2x+2） 2 =144 ∵x＞0 ∴x=5 归纳提炼：求关于 x 的一元二次方程 x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解． 要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）【研究不等关系】 提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与 2y+5 的大小关系（其中 y＞0）？ 几何建模：（1）画长 y+3，宽 y+2 的矩形，按图 5 方式分割 （2）变形：2y+5=（y+3）+（y+2） （3）分析：图 5 中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分部分的面积可表示为 y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3） （y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5 归纳提炼： 当 a＞2，b＞2 时，表示 ab 与 a+b 的大小关系． 根据题意，设 a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）24．（12 分）（2013•青岛）已知：如图，▱ABCD 中，AD=3cm2013青岛中考，CD=1cm，∠B=45°，点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 3cm/s；点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 1cm/s，连接并延长 QP 交 BA 的延长线于点 M，过 M 作 MN⊥BC，垂足是 N，设运动时间为 t（s）（0＜t＜1） 解答下列问题： （1）当 t 为何值时，四边形 AQDM 是平行四边形？ （2）设四边形 ANPM 的面积为 y（cm 2 ），求 y 与 t 之间的函数关系式： （3）是否存在某一时刻 t，使四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半？若存在，求出相应的 t 值；若不存在，说明理由． （4）连接 AC，是否存在某一时刻 t，使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 的两部分？若存在，求出相应的 t 值；若不存在，说明理由．市 山东省青岛市 2013 年中考数学试卷 分 一、选择题（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分） 1．B．2．D．3．A．4．C．5．A．6．A．7．C．8．D． 分 二、填空题（本题满分 18 分共有 6 道题，每小题 3 分） 9．5 10．甲．11．40（1+x） 2 =48.4．12．k=﹣2 13． ﹣ ． 14．6；9． 分 四、解答题（本题满分 74 分，共有 9 道小题） 17．解：从图表中可以看出 C 的学生数是 5 人， 如图： 每天干家务活平均时间是：（10×10+15×20+5×30）÷30≈18（min）； 根据题意得：240× =120（人）， 光明中学八年级共有 240 名学生，其中大约有 120 名学生每天干家务活的平均时间是 20min； 故答案为：120． 18．解：根据题意，画出树状图如下： 一共有 4 种情况，积是偶数的有 3 种情况，积是奇数的有 1 种情况， 所以，P（小明胜）= ×2= ， P（小刚胜）= ×1= ， ∵ ≠ ， ∴这个游戏对双方不公平． 19．解：设第一次的捐款人数是 x 人，根据题意得： = ， 解得：x=300， 经检验 x=300 是原方程的解，20．解：（1）CD 与 AB 之间的距离为 x， 则在 Rt△ BCF 和 Rt△ ADE 中， ∵ =tan37°， =tan67°， ∴BF= = x，AE= = x， 又∵AB=62，CD=20， ∴ x+ x+20=62， 解得：x=24， 答：CD 与 AB 之间的距离为 24 米； （2）在 Rt△ BCF 和 Rt△ ADE 中， ∵BC= = =40， AD= = =26， ∴AD+DC+CB﹣AB=40+20+26﹣62=24（米）， 答：他沿折线 A→D→C→B 到达超市比直接横穿马路多走 24 米． 21．（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB=DC，∠A=∠D=90°， ∵M 为 AD 中点， ∴AM=DM， 在△ ABM 和△ DCM， ∴△ABM≌△DCM（SAS）； （2）答：四边形 MENF 是菱形． 证明：∵N、E、F 分别是 BC、BM、CM 的中点， ∴NE∥CM，NE= CM，MF= CM， ∴NE=FM，NE∥FM， ∴四边形 MENF 是平行四边形， ∵△ABM≌△DCM， ∴BM=CM， ∵E、F 分别是 BM、CM 的中点， ∴ME=MF， ∴平行四边形 MENF 是菱形； （3）解：当 AD：AB=2：1 时，四边形 MENF 是正方形． 理由是：∵M 为 AD 中点， ∴AD=2AM，∵AD：AB=2：1， ∴AM=AB， ∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45°， 同理∠DMC=45°， ∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°， ∵四边形 MENF 是菱形， ∴菱形 MENF 是正方形， 故答案为：2：1． 22．解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500， 则 w=（x﹣20）（﹣10x+500） =﹣10x 2 +700x﹣10000； （2）w=﹣10x 2 +700x﹣10000=﹣10（x﹣35） 2 +2250． ∵﹣10＜0， ∴函数图象开口向下，w 有最大值， 当 x=35 时，w max =2250， 故当单价为 35 元时，该文具每天的利润最大； （3）甲方案利润高．理由如下： 甲方案中：20＜x≤30， 故当 x=30 时，w 有最大值， 此时 w 甲 =2000； 乙方案中： ， 故 x 的取值范围为：45≤x≤49， ∵函数 w=﹣10（x﹣35） 2 +2250，对称轴为 x=35， ∴当 x=45 时，w 有最大值， 此时 w 乙 =1250， ∵w 甲 ＞w 乙 ， ∴甲方案利润更高． 23． 归纳提炼： 十位数字加 1 的和与十位数字相乘，再乘以 100，加上两个个位数字的积，构成运算结果． 【研究方程】 归纳提炼： 画四个长为 x+b，宽为 x 的矩形，构造答图 1，则图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式：（x+x+b） 2 或四个长为 x+b，宽为 x 的矩形面积之和，加上中间边长为 b 的小正方形面积． 即：（x+x+b） 2 =4x（x+b）+b 2 ∵x（x+b）=c， ∴（x+x+b） 2 =4c+b 2 ∴（2x+b） 2 =4c+b 2 ∵x＞0， ∴x= ． 【研究不等关系】 归纳提炼： （1）画长为 2+m，宽为 2+n 的矩形，并按答图 2 方式分割． （2）变形：a+b=（2+m）+（2+n） （3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n），阴影部分面积可表示为 2+m 与2+n 的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即 ab＞a+b． 24 解答： 解：（1）∵当 AP=PD 时，四边形 AQDM 是平行四边形， 即 3t=3﹣3t， t= ， ∴当 t= s 时，四边形 AQDM 是平行四边形．（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△AMP∽△DQP， ∴ = ， ∴ = ， ∴AM=t， ∵MN⊥BC， ∴∠MNB=90°， ∵∠B=45°， ∴∠BMN=45°=∠B， ∴BN=MN， ∵BM=1+t， 在 Rt△ BMN 中，由勾股定理得：BN=MN= （1+t）， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵MN⊥BC， ∴MN⊥AD， ∴y= ×AP×MN = •3t• （1+t） 即 y 与 t 之间的函数关系式为 y= t 2 + t（0＜t＜1）． （3）假设存在某一时刻 t，四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半． 此时 t 2 + t= ×3× ， 整理得：t 2 +t﹣1=0， 解得 t 1 = ，t 2 = （舍去） ∴当 t= s 时，四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半． （4）存在某一时刻 t，使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 的两部分， 理由是：假设存在某一时刻 t，使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 的两部分， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△APW∽△CNW， ∴ = ， 即 = 或 = ，∴t= 或 ， ∵两数都在 0＜t＜1 范围内，即都符合题意， ∴当 t= s 或 s 时，NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 的两部分．

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