缺8数(缺8数)

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定义自然数12345679 被称为“缺8 数”，它有许多奇妙的性质。 清一色 数乘以9的倍数可以得到“清一色”，例如： 123456799=11567918=222222222 1234567927=333333333 1234567936=444444444 1234567945=555555555 1234567954=666666666 1234567963=777777777 1234567972=888888888 1234567981=999999999 三位一体 数乘以3的倍数但不是9 的倍数（12 起），可以得到“三位一体”，例如： 1234567912=14814815=18518521=259259259 1234567933=407407407 1234567957=703703703 1234567978=962962962 轮流休息 当乘数不是9 的倍数时，此时虽然没有清一色或三位一体的现象，但仍可以看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同，缺少1 个数字缺8数，而且存在着明确的规律。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9 的情况肯定不存在。

例如乘 数在区间[10，17]的情况（其中12 和15 的倍数，予以排除）：1234567910=123456790（缺8） 1234567911=135802469（缺7） 1234567913=160493827（缺5） 1234567914=172839506（缺4） 1234567916=197530864（缺2） 1234567917=209876543（缺1） 乘数在[19，26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮 休”，人人有份，既不多也不少，实在有趣。 一以贯之 当乘数超过81 时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。例如： 乘数为9 的倍数 =2999999997 只要把乘积中最左边的一个数2 加到最右边的7 上，仍呈现“清一色”。 乘数为3 的倍数，但不是9 的倍数 1234567984=1037037036 只要把乘积中最左边的一个数1 加到最右边的6 上，又出现“三位一体”。 乘数为3K+1 或3K+2 1234567998=1209876542表面上看来，乘积中出现雷同的2，但只要把乘积中最左边的数1 加到最右边的2 上去之后，所得数为209876543， 是“缺1”数，仍是轮流“休息”。

走马灯 数乘以19时，其乘数将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2 却成了开路先锋。例如： 1234567919=234567901 1234567928=34567937=456790123 深入的研究显示，当乘数为一个公差等于9 的算术级数时，出现“走马灯”的现象。例如： 123456798=098765432 1234567917=209876543 1234567926=32567935=432098765 huiwen 数的精细结构引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：123456794=49382716 123456795=61728395 前一式的数颠倒过来读，正好就是后一式的积数。（虽有微小的差异，即5 代以4，而根据“轮休学说”，这正是题 中应有之义） 这样的“回文结对，携手并进”现象，对（13、14）（22、23）（31、32）（40、41）等各对乘数（每相邻两对乘 数的对应公差均等于9）也应如此。例如： 1234567922=27567923=283950617 前一式的数颠倒过来读，正好是后一式的积数。

（后一式的2 移到后面，并5 数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为： 1/81=0.2345679012345679……，缺8 数和1/81 的循环节有关。 在以上小数中缺8数，为什么别的数码都不缺，而唯独缺少8 我们看到，1/81=1/91/9，把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/9=0.111111111…… 1/91/9，即无穷个1 的自乘。不妨先从有限个1 的平方来看： 很明显，11 的平方=121，111 的平方=12321，……，直到111111111 的平方=654321。 但无穷个1 的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8 都被一 一跳过。 那么，缺8 数乘以9 的倍数得到“清一色”就很好理解了，因为： 1/819=1/9=0.111111111…… 数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解，因为： 1/813=1/27=0.037037037……，一开始就出现了三位的循环节。 数乘以公差为9的等差数列时相当于在原有基础上每位数加1，自然就出现“走马灯”了。 循环小数与循环群、周期现象的研究方兴未艾，缺8 数已引起人们的浓厚兴趣与密切关注。

由于计算机科学的蓬 勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微的结构。 其他类型 也许有人以为缺八数是10 进制下的特有情况，但事实是，在8 进制和16 进制下也有类似的数字出现。 进制下的缺8数为：123457 1234577=1111111 倍不是14，而是16。12345716=2222222 12345725=3333333 10进制中缺8 数关于乘数3 的性质是由关于乘数9 的性质衍生而来的，在8 进制中没有类似的性质。 16 进制中缺8 数为：123456789abcdf 123456789abcdff=1111 如前所述，缺8 数的出现与循环小数有密切的联系。 在任何一种进制中，1 除以最大的个位数，得到的都是0.1111...无限循环的小数，缺8 数的全部性质理论上应该 都能由此推出。 可以认为，缺8 数的性质是由进制的规则决定的，是进制性质的反应。

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